BAB VI LIMIT FUNGSI
Sesungguhnya
yang dimaksud dengan “fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f
mendekati
L, untuk x mendekati c”. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak
pada
sembarang
persekitaran-ε, hanya berlaku jika x terletak pada persekitaran-δ dari c, dan x
≠ c.
Pemilihan
nilai δ bergantung pada pemilihan nilai ε, sehingga kadang-kadang ditulis δ = δ(ε).
Yang
perlu diperhatikan adalah, f tidak harus terdefinisi di c, tetapi harus
terdefinisi pada titiktitik
di
sekitar c (terletak pada persekitaran-δ dari c)
6.1
Definisi
A
⊆ R. Titik c ∈ R adalah
titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,= (c-δ, c
+ δ), memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c.
Dengan
kata lain : A ⊆ R,
c titik limit dari A jika
∩ A – {c} ≠ ∅
Contoh
:
1.
A1 = (0,1),
0
merupakan titik limit dari A1?
=
………………
∩ A1 – {0} = ………… - {0} ≠
∅. Jadi, 0 merupakan
titik limit dari A1.
1
merupakan titik limit dari A1 ?
=
…………….
∩ A1 – {1} = ………… - {1} =
……. Jadi, ……………..
Dengan
demikian, titik limit dari A1 adalah ……………..
2.
Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Buktikan!
3.
A2 = {| n ∈ N}. 0 merupakan
satu-satunya titik limit dari A2.
6.2
Teorema
Bilangan
real c adalah titik limit dari A, A ⊆ R, jika dan hanya jika ada barisan (an) dalam A dan
an
≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim
(an) = c
Bukti
:
(⇒) A ⊆ R. Bilangan real c
adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan ada barisan (an)
dalam
A dan an ≠ c, ∀ n
∈ N sedemikian hingga lim
(an) = c
c
adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n ∈ N, persekitaran- dari
c, yaitu memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c. Jika an,
∀n ∈ N
merupakan
titik-titik tersebut, maka an ∈ A,
an ≠ c, dan lim (an) = c. (terbukti)
(⇐) jika ada barisan (an)
dalam A dan an ≠ c, ∀ n
∈ N sedemikian hingga lim
(an) = c akan
ditunjukkan
bahwa c adalah titik limit dari A
(an)
dalam A dan an ≠ c maka (an) dalam A – {c}, dan lim (an) = c, artinya untuk
sembarang
δ
> 0, ∃ K(δ) ∈ N, sehingga jika n ≥ K(δ), maka an ∈ .
Dengan
kata lain, terdapat persekitaran-δ dari c, yang memuat titik-titik an,∀ n ≥ K(δ)
,
an ∈ A dan an ≠ c. Jadi, c
merupakantitik limit dari A.
6.3
Definisi Limit
A
⊆ R, f : A → R, dan c merupakan
titik limit dari A
Bilangan
real L merupakan limit dari f di c, jika untuk sembarang persekitaran-ε dari L,ada
persekitaran-δ dari c, sedemikian hingga untuk sembarang x ∈ ∩ A, x ≠ c, maka
f(x)
∈ .
Catatan
• Pengambilan nilai δ
bergantung pada pengambilan ε, sehingga kadang-kadang δ ditulis
dengan
δ(ε).
• Jika L merupakan limit
f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan ditulis :
L
= lim atau L = lim
f(x)
menuju L untuk x menuju c
6.4
Teorema
Jika
f : A → R, dan c titik limit
dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.
Bukti
:
Andaikan
f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 ≠ L2.
Pilih
ε > 0, sehingga dan saling
asing, yaitu ε = |L1
– L2|.
L1
merupakan limit f di c, maka ∃ δ1 >
0,
sehingga jika x ∈ A
∩
,
x ≠ c → f(x) ∈
L2
merupakan limit f di c, maka ∃ δ2 >
0,
sehingga jika x ∈ A
∩
,
x ≠ c → f(x) ∈
Ambil
δ = min{δ1, δ2}, dan merupakan
persekitaran-δ dari c.
Karena
c merupakan titik limit dari A, maka paling sedikit terdapat satu titik dalam
A, yaitu
x0
≠ c dan x0 ∈ A
∩. Sebagai akibatnya,
f(x0) ∈, dan f(x0) ∈.
Hal
tersebut kontradiksi dengan …………………..
Kontradiksi
tersebut terjadi karena asumsi bahwa …………………., akibatnya ……………..
Kriteria
ε – δ untuk Limit
6.5
Teorema
f
: A → R, c titik limit dari
A, maka :
(i)
lim L jika dan hanya jika
(ii)
Untuk sembarang ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε), maka
|f(x) - L| < ε.
Bukti
:
(i)
→ (ii) Jika f mempunyai
limit L di c. Maka untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, sehingga
untuk
setiap x ∈ A
dan x ∈, x ≠ c, maka f(x) ∈ .
Apabila
kita uraikan satu-persatu dari pernyataan di atas, akan terdapat :
*
untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, berarti …………..
**
untuk setiap x ∈ A
dan x ∈, x ≠ c, berarti x ∈ A , …………., dan …………..
***
f(x) ∈ , berarti ………………..
Jika
*, **, dan *** kita gabungkan, maka akan diperoleh ………………….
(iii)→ (i) Untuk sembarang ε
> 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε),
maka
|f(x) - L| < ε.
Kita
uraikan masing-masing pernyataan tersebut :
*
Untuk sembarang ε > 0, maka akan diperoleh ……………
**
Terdapat δ(ε) > 0, artinya ……………..
***
x ∈ A dan 0 < |x - c| < δ(ε) artinya x ∈ A dan |x - c| > 0 dan |x - c| < δ(ε), sehingga
diperoleh
……………… dan …………………….
****
|f(x) - L| < ε artinya …………………..
Dari
*, **, ***, dan **** dapat disimpulkan ………………………..
Contoh
-contoh
1.
Tentukan |x
- 1| agar memenuhi |x2- 1| <
Jawab
:
Ambil
|x - 1| < 1, maka akan diperoleh
: …………. < x-1 < ……….
⇔ ………… < x < …………
⇔ ………… < x + 1< ………
|x2- 1| <
⇔ |(x – 1)(x + 1)| <
⇔ |x - 1||x +1|<
⇔ …….. |x - 1|<
,
jadi |x - 1| ………..
2.
lim = b
Bukti
:
Tampak
bahwa f(x) = ……, ∀ x
∈ R. Agar lim= b, maka ∀ ε > 0, ambil δ = 1,
sehingga
jika
0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b| = 0 < ε . Terbukti bahwa …………..
3.
lim = c
Bukti
:
g(x)
= …….. ∀ x ∈ R. Jika ε > 0, ambil
δ = ……, sehingga jika 0 < |x
- c| < δ maka diperoleh
|g(x) – c| = |… - ….| < ε . Karena ε diambil
sembarang, maka terbukti bahwa ………..
4.
lim = c2
Bukti
:
h(x)
= …….. ∀ x ∈ R. Untuk menunjukkan lim=
c2, maka harus ditunjukkan :
|h(x) – c2| = |… - ….| < ε
Ambil
sembarang ε > 0 dan x yang cukup dekat dengan c. Misal |x - c| < 1.
Pergunakan
teorema ketidaksamaan - Δ, diperoleh : |x| ≤
|c| + 1 sehingga |x + c| ≤ |x| + |c|
≤ ……..
Oleh
karena itu, jika |x
- c| < 1, maka akan diperoleh
:
(*)
|x2 – c2| = |…….||…….| ≤ ……… |x - c| dan harus ditunjukkan
nilainya lebih kecil dari ε.
Hal
tersebut akan dipenuhi jika |x
- c| < ….. (1)
Oleh
karena itu, pilih δ(ε) = inf (1, ……..) ; sehingga jika 0 < |x - c| < δ(ε) maka memenuhi:
|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*)
valid, dan dari (1) diperoleh |x2
– c2| ≤ ……… |x - c| < ε.
Karena
nilai δ(ε) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai ε > 0, maka
terbukti
bahwa
…………………..
Kriteria
Barisan Untuk Limit
6.6
Teorema (Kriteria Barisan)
f
: A → R, dan c merupakan
titik limit dari A; maka :
(i)
lim L jika dan hanya jika
(ii)
Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga xn ≠
c,
∀ n ∈ N, maka barisan (f(xn))
konvergen ke L
Bukti
:
(i)
→ (ii). Anggap f
mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A dengan
lim(xn)
= c dan xn ≠ c, ∀ n
∈ N. Kita harus
menunjukkan bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke
L.
f
mempunyai limit L di c, (menurut kriteria …..), jika diambil sembarang ε > 0
akan terdapat
…….,
sehingga jika x memenuhi ……. <
|x
- c| < ….., dengan x ∈ A, maka f(x) memenuhi
|f(x) - L| < ε
lim(xn)
= c, artinya untuk sembarang δ > 0, ∃ K(δ) ∈ N, sehingga untuk n ≥ K(δ) berlaku
……(2)
Tetapi,
setiap xn memenuhi (1). Jadi, jika n ≥ K(δ) maka berlaku |f(xn) - L| < ε artinya ……….
(ii)
→ (i) Pembuktian akan
menggunakan kontra positif, yaitu dengan mengandaikan (i) tidak
benar
akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.
Andaikan
lim ≠ L, maka akan ada persekitaran-ε0 dari L, sehingga untuk setiap
persekitaran-δ
dari c, yang diambil, terdapat paling sedikit satu nilai xδ ∈ A ∩
dengan
xδ ≠ c, tetapi f(xδ).
Oleh
karena itu, ∀ n
∈ N, persekitaran-
dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga
0
< |xn - c| <
,
dan xn ∈ A
Tetapi,
|f(xn) - L| ≥ ε0, ∀ n ∈ N.
Dengan
demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A – {c} yang
konvergen
ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.
Jadi,
dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat
kontra positif,
maka
(ii) → (i) bernilai benar!
Dari
beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fungsi
dapat
dibuktikan
dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.
Contoh
: Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu bilangan c,
maka (xn
2)
konvergen
ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2
mempunyai
limit : lim c2
Kriteria
Divergensi
Berikut
akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari
suatu fungsi
pada
suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada suatu
titik.
6.7
Kriteria Divergensi
A
⊆ R, f : A → R, dan c merupakan
titik limit dari A.
(a)
Jika L ∈ R, maka f tidak
mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika ∃ barisan (xn)
dalam
A, xn ≠ c ∀ n
∈ N, sehingga barisan (xn)
konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak
konvergen
ke L.
(b)
Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ∃ barisan (xn) dalam A, xn
≠ c
∀ n ∈ N, sehingga barisan (xn)
konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di R.
Contoh
:
1.
lim tidak ada di R.
Bukti
:
Jika
diambil barisan (xn) dengan xn = untuk n ∈ N, maka lim (xn) = 0, tetapi ϕ(xn)= n,
dan
barisan (ϕ(xn))
=(n) merupakan barisan yang tidak konvergen karena ………. Oleh
karena
itu menurut teorema 6.7 disimpulkan bahwa …………………………..
2.
lim tidak ada.
Bukti
:
Fungsi
signum didefinisikan sebagai berikut : sgn (x)
1
0
0
0
1
0
Ingat
bahwa sgn (x) = untuk x ≠ 0. Akan ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di
x = 0. Karena akan ditunjukkan lim tidak ada, maka harus ditunjukkan ada
barisan
(xn) dan lim (xn) = 0, tetapi …………..
Ambil
xn = untuk n ∈ N,
maka lim (xn) = …… dan sgn(xn) = ……. untuk n ∈ N,
sehingga
………………..
Jadi,
lim tidak ada.
3.
lim sin tidak ada di R.
Bukti
:
Jika
g(x) = sin untuk x ≠ 0. Akan ditunjukkan bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c dengan
menetapkan dua barisan (xn) dan (yn), dimana xn ≠ 0 dan yn ≠ 0, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim
(xn) = 0 dan lim (yn) = 0 tetapi lim (g(xn)) ≠ lim (g(yn)), hal itu menunjukkan
bahwa lim tidak ada.
Ingat
: sin t = 0 jika t = n , dan sint = + 1 jika t = 2, untuk n ∈ Z.
Ambil
xn = untuk n ∈ N,
maka lim (xn) = ….. dan g(xn) = …… = …… ∀ n ∈ N, sehinggalim (g(xn)) = ……Ambil yn = untuk n ∈ N, maka lim (yn) = …..
dan g(yn) = ……… = ……, ∀ n
∈ N sehingga lim (g(yn))
= ……
Karena
……………… ≠ …………………., maka lim sin
tidak
ada di R.
Sumber :alisahadi.wordpress.com
Tidak ada komentar:
Posting Komentar